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高中数学必修二知识点总结

时间: 2021-09-16 11:11:43 浏览量:

篇一:数学必修2知识点

高中数学必修2知识点

一、直线与方程

直线的倾斜角

定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° 直线的斜率

①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当???0?,90??时,k?0; 当???90?,180??时,k?0; 当??90?时,k不存在。

y?y1

(x1?x2) ②过两点的直线的斜率公式:k?2

x2?x1注意下面四点:(1)当x1?x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 直线方程

①点斜式:y?y1?k(x?x1)直线斜率k,且过点?x1,y1?

注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。

②斜截式:y?kx?b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ③两点式:④截矩式:

y?y1y2?y1

xa?y

?

x?x1x2?x1

直线两点?x1,y1?,?x2,y2?

?1 b

其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式:Ax?By?C?0

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如: 注意:○

平行于x轴的直线:y?b; 平行于y轴的直线:x?a; 直线系方程:即具有某一共同性质的直线 平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0的直线系:

A0x?B0y?C?0

过定点的直线系

斜率为k的直线系:y?y0?k?x?x0?,直线过定点?x0,y0?;

过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为

,其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0两直线平行与垂直

当l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2时, l1//l2?k1?k2,b1?b2;l1?l2?k1k2??1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交 交点坐标即方程组??

A1x?B1y?C1?0

的一组解。

?A2x?B2y?C2?0

方程组无解?l1//l2 ; 方程组有无数解?l1与l2重合 两点间距离公式:设A(x1,y1),B是平面直角坐标系中的两个点,

则|AB|?

点到直线距离公式:一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

?

Ax0?By0?C

A?B

2

2

二、圆的方程

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的

半径。

2、圆的方程

标准方程?x?a???y?b??r2,圆心?a,b?,半径为r;

2

2

一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 当D?E

22

2

?4F?0时,方程表示圆,此时圆心为?

??

?

2

2

D2

,?

1E?,半径为r??

22?

D

2

?E

2

?4F

当D?E?4F?0时,表示一个点; 当D?E?4F?0时,方程不表示任何图

形。

求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:

设直线l:Ax?By?C?0,圆C:?x?a?2??y?b?2?r2,圆心C?a,b?到l的距离为

d?

Aa?Bb?CA?B

2

2

2

,则有d?r?l与C相离;d?r?l与C相切;d?r?l与C相交

2

2

设直线l:Ax?By?C?0,圆C:?x?a???y?b??r2,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为?,则有

??0?l与C相离;??0?l与C相切;??0?l与C相交

2

注:如果圆心的位置在原点,可使用公式xx0?yy0?r去解直线与圆相切的问题,其中?x0,y0?表示切点坐标,r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程:

22

①圆x2+y2=r,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为xx0?yy0?r (课本命题).

2222

②圆(x-a)+(y-b)=r,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r (课本命题的推广).

4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和,与圆心距之间的大小比较来确定。 设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2,C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和,与圆心距之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离,此时有公切线四条;

当d?R?r时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当R?r?d?R?r时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当d?R?r时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当d?R?r时,两圆内含;当d?0时,为同心圆。

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共

边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱ABCDE?ABCDE或用对角线的端点字母,如五棱柱

AD

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且

相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

棱锥

定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示:用各顶点字母,如五棱锥P?ABCDE

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到

截面距离与高的比的平方。

棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示:用各顶点字母,如五棱台P?ABCDE

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图

是一个矩形。

圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图

定义三视图:正视图;侧视图、 俯视图

注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

特殊几何体表面积公式

S直棱柱侧面积

S正棱台侧面积

?12

?chS圆柱侧?2?rh S正棱锥侧面积

(c1?c2)h S圆台侧面积?(r?R)?l

?

12

chS圆锥侧面积

??rl

S圆柱表?2?r?r?l?S圆锥表??r?r?l? S圆台表???r2?rl?Rl?R2?

柱体、锥体、台体的体积公式 ??V柱?Sh V圆柱?Sh

V台

?

13(S?

2

1

r hV锥?Sh V圆锥?1?r2h

3

3

S)hV圆台?

13

(S?

S)h?

13

?(r?rR?R)h

22

球体的表面积和体积公式:V球4、空间点、直线、平面的位置关系

=

43

?R

3

; S

球面

=4?R2

平面

① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的;

② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α;

也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。

③ 点与平面的关系:点A在平面?内,记作A??;点A不在平面?内,记作A?? 点与直线的关系:点A的直线l上,记作:A∈l;点A在直线l外,记作A?l;

直线与平面的关系:直线l在平面α内,记作l?α;直线l不在平面α内,记作l?α。 公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1:A?l,B?l,A??,B???l?? 公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a。

符号语言:P?A?B?A?B?l,P?l 公理3的作用:

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。

③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a’∥a,b’∥b,则把直线a’和b’所成的锐角叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤:

A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点.

篇二:高一数学必修2知识点总结人教版

高中数学必修二复习

基本概念

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系:

空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: 共面: 平行、 相交 异面:

异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类:

有且仅有一个公共点——相交直线;没有公共点—— 平行或异面

直线和平面的位置关系:

直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量)

规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为

最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线,平面 叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

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③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。

两个平面的位置关系:

两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点 两个平面的位置关系:

两个平面平行-----没有公共点; 两个平面相交-----有一条公共直线。 a、平行

两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。 b、相交 二面角

半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为

二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。 二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 两平面垂直

两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥ 两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 Attention:

二面角求法:直接法、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法 多面体 棱柱

棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质

侧棱都相等,侧面是平行四边形

两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形

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棱锥

棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质:

侧棱交于一点。侧面都是三角形

平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方 正棱锥

正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质:

各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高。

多个特殊的直角三角形 esp:

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

直线与方程

直线的倾斜角

定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

直线的斜率

①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表 当??0,90

?

当???90

?

?

时,k?0;,180?时,k?0;

?

?

当??90时,k不存在。 ②过两点的直线的斜率公式:k?

y2?y1x2?x1

(x1?x2)

注意下面四点:

(1)当x1?x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关;

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

直线方程

①点斜式:y?y1?k(x?x1)直线斜率k,且过点?x1,y1?

注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因

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l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。

②斜截式:y?kx?b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ③两点式:④截矩式:

y?y1y2?y1

xa?y

?

x?x1x2?x1

直线两点?x1,y1?,?x2,y2?

?1 b

其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式:Ax?By?C?0

1各式的适用范围 注意:○

2特殊的方程如:平行于x轴的直线:y?b ○;

平行于y轴的直线:x?a;

直线系方程:即具有某一共同性质的直线 平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0的直线系:

A0x?B0y?C?0

垂直直线系

垂直于已知直线A0x?B0y?C0?0的直线系:

B0x?A0y?C?0

过定点的直线系

① 斜率为k的直线系:y?y0?k?x?x0?,直线过定点?x0,y0?;

② 过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为 ,其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0

两直线平行与垂直

当l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2时, l1//l2?k1?k2,b1?b2;l1?l2?k1k2??1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交

交点坐标即方程组?

?A1x?B1y?C1?0?A2x?B2y?C2?0

的一组解。

方程组无解?l1//l2 ; 方程组有无数解?l1与l2重合

两点间距离公式:设A(x1,y1),B是平面直角坐标系中的两个点,

则|AB|?

点到直线距离公式:一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

圆的方程

水激石则鸣,励激志则宏!知识改变命运,勤奋成就未来! 共5 页第4页4/14/2013

?

Ax0?By0?C

A?B

2

2

标准方程?x?a???y?b??r2,圆心?a,b?,半径为r;

2

2

一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 当D?E

22

2

?4F?0时,方程表示圆,此时圆心为?

??

?

2

2

D2

,?

1E?,半径为r??

22?

D

2

?E

2

?4F

当D?E?4F?0时,表示一个点; 当D?E?4F?0时,方程不表示任何图形。

求圆方程的方法:

一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:

设直线l:Ax?By?C?0,圆C:?x?a?2??y?b?2?r2,圆心C?a,b?到l的距离为

d?

Aa?Bb?CA?B

2

2

2

,则有d?r?l与C相离;d?r?l与C相切;d?r?l与C相交

过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

圆与圆的位置关系

通过两圆半径的和,与圆心距之间的大小比较来确定。

2

设圆C1:?x?a1???y?b1?2?r2,C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和,与圆心距之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离,此时有公切线四条;

当d?R?r时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当R?r?d?R?r时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当d?R?r时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当d?R?r时,两圆内含;当d?0时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

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篇三:2014年高一数学必修二各章知识点总结

数学必修2知识点

1. 多面体的面积和体积公式

表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表示高,h′表示斜高,l表示侧棱长。

2. 旋转体的面积和体积公式

表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台上、下底面半径,R表示半径。

3、平面的特征:平的,无厚度,可以无限延展.

4、平面的基本性质:

公理1、若一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

??l,??l,???,????l??

?,?,C三点不共线?有且只有一个平面?,使???,???,C??

公理3、若两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

??????????l且??l

推论1、经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 推论2、经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3、经过两条平行直线,有且只有一个平面.

公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. a//b,b//c?a//c

1

5、等角定理:空间中若两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角相等.

6、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 数学符号表示:a??,b??,a//b?a//?

直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示:a//?,a??,????b?a//b

7、平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 数学符号表示:a??,b??,a?b??,a//?,b//???//? 垂直于同一条直线的两个平面平行. 平行于同一个平面的两个平面平行.

面面平行的性质定理:

若两个平面平行,那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. ?//?,a???a//? 若两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. ?//?,????a,????b?a//b

8、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 数学符号表示:m??,n??,m?n??,l?m,l?n?l??

若两条平行直线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 若一条直线垂直于两个平行平面中一个,那么该直线也垂直于另一个平面.

直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.

符号表示:a??,a????//? 符号表示:?//?,?//???//?

a//b,a???b??

?//?,a???a??

a??,b???a//b

9、两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. a??,a?????? 平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示:???,????b,a??,a?b?a??

10、直线的倾斜角和斜率:

设直线的倾斜角为?0???180,斜率为k,则k?tan????

????

当0???90时,k?0;当90???180时,k?0.

?

??

?

??

?????.当时,斜率不存在. ?22?

过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线斜率k?

y2?y1

(x2?x1).

x2?x1

2

11、两直线的位置关系:

两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2斜率都存在,则: l1∥l2?k1?k2且b1?b2

l1?l2?k1?k2??1 l1与l2重合?k1?k2且b1?b2

12、直线方程的形式:

点斜式:y?y0?k?x?x0? 斜截式:y?kx?b 两点式:

y?y1x?x1

?(y2?y1,x2?x1) 一般式:?x??y?C?0???A2?B2?0?

y2?y1x2?x1

截距式:

xy

??1 ab

13、直线的交点坐标:

设l1:A1x?B1y?c1?0,l2:A2x?B2y?c2?0,则: l1与l2相交?

A1B1ABCABC

;l1∥l2 ?1?1?1;l1与l2重合?1?1?1. ?

A2B2A2B2C2A2B2C2

PP?14、两点P1(x1,y1),P2(x2,y

2)间的距离公式12

原点??0,0?与任一点?

?x,y?的距离OP?

15、点P0(x0,y0)到直线l:?x??y?C?

0的距离d?

l:?x?C?0的距离d?点P0(x0,y0)到直线

Ax0?CABy0?CB点P0(x0,y0)到直线l:?y?C?0的距离d?

点??0,0?到直线l:?x??y?C?

0的距离d?

16、两条平行直线?x??y?C1?0与?x??y?C2?

0间的距离d?

17、过直线l1:A1x?B1y?c1?0与l2:A2x?B2y?c2?0交点的直线方程为

3

(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?c2)?0???R?

18、与直线l:?x??y?C?0平行的直线方程为?x??y?D?0?C?D? 与直线l:?x??y?C?0垂直的直线方程为?x??y?D?0 19、中心对称与轴对称:

x1?x2?x???02

中心对称:设点P(x1,y1),E(x2,y2)关于点M(x0,y0)对称,则?

y?y2?y?10??2

轴对称:设P(x1,y1),E(x2,y2)关于直线l:?x??y?C?0对称,则: a、B?0时,有

x1?x2y?yCC

??且y1?y2; b、A?0时,有12??且x1?x2 2A2B

?y1?y2B

???x?xA

c、A?B?0时,有?12

?A?x1?x2?B?y1?y2?C?0??22

20、圆的标准方程:(x?a)2?(y?b)2?r2 圆心O?0,0?,半径长为r的圆的方程x?y?r。

2

2

2

21、点与圆的位置关系:

设圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2,点M(x0,y0),将M带入圆的标准方程,结果r2在外,r2在内 22、圆的一般方程:x?y?Dx?Ey?F?0D?E?4F?0 当D?E?4F?0时,表示以??

2

2

22

?

22

?

?DE?

,??为半径的圆;

?22?

当D?E?4F?0时,表示一个点??

22

?DE?22

,??;当D?E?4F?0时,不表示任何图形. ?22?

23、直线与圆的位置关系:

几何角度:圆心到直线的距离与半径大小比较;或代数角度:带入方程组算△0、=0、0 .

24、圆与圆的位置关系:几何角度判断

相离?C1C2?r1?r2;外切?C1C2?r1?r2;相交?r1?r2?C1C2?r1?r2; 内切?C1C2?r1?r2; 内含?C1C2?r1?r2. 25、过两圆

x2?y2?D1x?E1y?F1?0与x2?y2?D2x?E2y?F2?0交点的圆的方程

4

(x2?y2?D1x?E1y?F)1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0(???1).

当???1时,即两圆公共弦所在的直线方程.

PP?26、点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z

2)间的距离12

5